使用しているプラグインが本当に必要なのか、一度整理されるのをオススメします。

なおプラグイン競合とは別に、設定内容次第でも不具合は起きますのでサイトにあった個別かつ適切な設定が大事です。

参考：推奨プラグインと非推奨・不要・注意すべきプラグインについて

スマホでサイトを確認すると、２点できなくなっています。

・ヘッダーメニューの検索ボタン、メニューボタンがクリックできない

・目次が「気になるもくじをタップ」は出るが、その下からH2以降が表示されない。

これはスマホだけで起きている現象です。PC閲覧では問題ありません。

ただし、Wordpressでログインした状態でスマホで閲覧するとクリック及び目次の表示はされます。

SWELLの親テーマは再インストールしてみましたが解決しませんでした。

検索やフォーラムを見ても解決せず、分かる方がいらしたらご回答お願いしたいです。