具体的にどういったコードを埋め込んだらそうなったとか、詳細が何もないので原因が断定できないのですが、ひとつの原因として、エラーメッセージ「データベースに投稿を追加できませんでした」をそのままGoogle検索すると、2番目に以下の記事が出てきます。
参考： https://smatu.net/2020/03/15/wordpress-error-trouble-how-to-respond/

それによると、特殊な文字が含まれていると更新できない場合がある、といったものです。

Instagramの埋め込みコードには、Instagramの投稿主のユーザー名が必ず含まれるのですが、そのユーザー名に特殊な文字を使う場合が考えられます。
そうした場合に、おそらくどのテーマでも共通して、このような「データベースに投稿を追加できませんでした」というメッセージが出るでしょう。
実際に、そうした投稿を埋め込んだ場合に、同じエラーメッセージが表示されました。

もし、上記以外の原因であれば、より詳しい情報が欲しいので、具体的な内容をお書きいただくことをオススメします。

少なくとも、現時点では本事象の内容からも、テーマが原因とは考えにくいです。

WP はデータベースへの保存時に埋込機能では絵文字などをエスケープしてくれません。

なので、古いデータベースだと絵文字などのマルチバイト文字があると失敗します。
管理画面のツール→サイトヘルスからデータベースの文字コードを確認してみて下さい。

ここが utf8mb4 ならデータベースのせいではなく、他の原因です。セキュリティ機能などを見直してみて下さい。
uft8 だったら諦めるか有料でプロに依頼してください。

一応ヒントだけ……
https://twitter.com/xakuro_com/status/1599635499375038465

補足説明してくださりありがとうございます。

質問者さんの件が、どのような内容でのエラー発生かは具体的にはわかりかねますが、今回私が試したのは、

• 文字コードutf8mb4のデータベース上で（エックスサーバー使用）
• 山本さんがおっしゃるように、絵文字が使用されていた場合は問題なく記事保存できる
• 以下のサイトの文字のような、特殊な文字を使用している場合は上記エラーが出て記事保存できない
  https://smatu.net/2020/03/15/wordpress-error-trouble-how-to-respond/

といったものでした。
ただ、プレーンな（セキュリティなどがかかっていない）環境で試したわけではないので、本来であればプレーンな環境で試す必要がありますが…。

@96ssbike

特殊文字でエラーが出てくるんですか……！？
α とか Β などを入れても普通に保存できちゃいました。(Xserver で utf8mb4 環境)

エラーが出る具体的な文字をいただくことはできますか？
コピペして試してみます。

@b4rskbe5 さん

すみません…💦

私の件ですが、特定サイトのみ該当エラーが発生するようです。
同じ投稿を他のサイトに埋め込んでも、なんともなく普通に投稿されます。
発生条件は不明ですが、少し調べてみたいとは思います。

ちなみに、たとえば以下の方が特殊文字を使用されているので、こちらですとその特定サイトのみエラーが出ます（他のサイトでは出ません）。
https://www.instagram.com/hideya11go/

特定条件で再現することが分かりました。ありがとうございます！

結論から言うと、サイトヘルスで utf8mb4 になっていても問題が発生する可能性がありました。失礼しました。
Xserver の簡単インストールの場合は、現時点ではほぼ間違いなく問題が発生すると考えて良いです。

尤も、テーマ固有の問題ではなく WordPress (というよりデータベース) の問題でした。
暫定対応としては、Instagram の埋込コードに含まれるユーザ名を @username などに変更して特殊文字などが含まれないように編集して貼り付けてください。
※ただし、埋込コードの改変が許可されているかは Instagram の規約をご確認ください。そこまでは確認していません。

根本解決する場合は、データベースの設定を変更する必要があるのでプロに有料で対応してもらうと良いと思います。

@loos_ryo
SWELL テーマと、本来であれば関連の薄い問題を長々と失礼しました。

@96ssbikeさん、@b4rskbe5

ご返信くださり、誠にありがとうございます。

埋め込みコード（ユーザー名）に特殊文字と絵文字が含まれており、それを削除したら、無事に埋め込みができました！！

的確にご教示くださり本当にありがとうございます。

大変助かりました。