不具合ではなく、そういった仕様です。

外観＞ウィジェットの、ウィジェット説明書きにもそのように書かれています。

＞ヘッダー内に表示するウィジェット。スマホでは表示されません。

という文言は、「ウィジェットに記載した情報はPC閲覧時のみ表示される」という解釈です。

本HPでは、PC閲覧時には、お問い合わせ番号の画像が表示されていますがスマホ閲覧時には表示されていません。

上記は理解できておりますが、今回の質問は、スマホ閲覧時に右上にあるべきスマホ開閉メニュー(三)が表示されていないのがなぜなのか？という趣旨の質問となります。

問題解決いたしました。

しらこさん、ご回答いただきありがとうございました。

解決前のコードをデベロッパーツールで確認しましたが、.l-header__inner内のDOMの階層構造が崩れていました。

ヘッダー内部に設置したウイジェットに独自のHTMLを入力する場合、</div>の閉じ忘れなどがないかを確認するのがおススメです。

かんたさん、補足ありがとうございます！
どうやって解決したかが書かれていないですが、おそらくそういうことでしょうね。

また、モリシタさんの意図がうまく掴めずに失礼いたしました。
通常は（ユーザー起因でコード記述を間違えなければ）、ヘッダー内部ウィジェットとメニュー開閉アイコンとは無関係のはずなので、そういう意識が私自身の中にありませんでした。
その間違えた部分を一旦取り除き、別の何かのウィジェット等で代替して再検証して、ユーザー自身で解決することもおすすめします。